V poslední době si někteří Zvířetníci v diskuzích stěžovali, že už je od střední školy dělí pěkných pár pátků a leccos pozapomněli. To přece nemůžeme nechat jen tak. Pěkně se vážení a milí usaďte, rozložte si papír, tužku, pravítko, notebook s připojením na internet a začínáme si opakovat středoškolskou fyziku. Nečekejte, že byste se dozvěděli něco, co ještě nevíte, ale možná se na dříve získané znalosti podíváte trochu z jiných souvislostí. Tématem dnešní hodiny jsou jednoduché stroje.

Jednoduché stroje… a jo, už si vzpomínám. Páka, kladka, kolo na hřídeli, klín, nakloněná rovina a šroub. A teď otázka z historie: kdy se tyto stroje poprvé objevují v dějinách lidstva?

Tak tuto otázku bych raději nechala nezodpovězenou. Předpokládám, že každá civilizace, která manipulovala s těžkými a objemnými předměty, brzo objevila výhody nakloněné roviny. Člověk, který dokázal přehodit provaz přes vodorovnou větev, jistě zjistil, že použít k zvednutí břemene vlastní tíhy je jednodušší než tahat břemeno přímo a riskovat rupnutí v zádech – a základ pevné kladky byl na světě. Zkrátka… o konkrétních jménech objevitelů se zde dá patrně velmi těžko mluvit.

Takže začněme třeba… od Galilea Galileiho. Tenhle pán je mi velmi sympatický svým odporem k autoritám, konkrétně k Aristotelovi. Tohle by bylo na delší povídání, ale shrnu-li to ve stručnosti, Galilei nebojoval ani tak proti Aristotelovi, jako proti aristotelikům (vykladačům Aristotelova díla, čili scholastikům). Proti lidem, kteří házeli experimentátorům klacky pod nohy. Proč studovat experimentálně například zákonitosti volného pádu těles, když už slavný Aristoteles tvrdil, že je takový pohyb nemožný? Že to Aristoteles napsal poněkud jinak a jeho vykladač cituje jen polovinu příslušného odstavce? A že experiment vykladačovo tvrzení vyvrací? To je nepodstatné, důležité je zaštítit se autoritou klasika a papouškovat úryvky z jeho díla… Proto se Galileiho heslem stalo tvrzení, uvedené v jeho vrcholném díle o mechanice, v Discorsi:

„Je zpozdilostí chodit hledat odpovědi na své otázky do papírů toho nebo onoho, místo do veliké knihy přírody, která je otevřená pro každého, kdo v ní chce číst.“

(Trošku parafrázuji, knížku zde bohužel nemám k dispozici. Ale především učitelé fyziky by si měli tuto větu tučně napsat na každou stránku svých příprav).

Galileo Galilei pobýval ve svém mládí v Pise; jednak se v tomto městě roku 1564 narodil, jednak zde v letech 1589-1592 působil jako profesor na katedře matematiky. Matematika tou dobou neobsahovala pouze algebru a geometrii, ale její součástí bylo i to, co bychom dnes nazvali technickými aplikacemi: fyzika, obzvláště mechanika a balistika, a stavitelství. No a jsme zpátky u jednoduchých strojů. Ve svém traktátu Le Mecanice (Mechanika) (1593), který sepsal pro své studenty, formuluje poprvé „zlaté pravidlo mechaniky:“ (totiž že přírodu nemůžeme podvést, protože při použití jednoduchých strojů si práci pouze usnadníme, ale nezmenšíme množství práce, které je potřeba vykonat). Řečeno dnešní terminologií, používáme-li jednoduchých strojů, působíme sice menší silou, ale po delší dráze, takže celková vykonaná práce je stejná jako bez použití jednoduchých strojů. Ukažme si to rovnou na příkladu nakloněné roviny.

Nakloněná rovina je ideální pomocník pro stěhování předmětů do výše, případně pro šetrné spouštění těžkých předmětů z výše dolů. Kdo někdy tlačil kolečko po prkně do patra stavby, případně kdo kutálel pivní sudy z vozu dolů po ližinách, dá mi jistě za pravdu. Možná bude ale pochybovat o tom, že žádnou práci neušetřil, vždyť se přece tolik nenadřel! Nezbývá nic jiného než si zopakovat právě středoškolskou definici práce (která nejspíše pochází právě od Galileiho jako důsledek studia jednoduchých strojů):

Definice je velmi jasná a názorná. Pokud nepůsobíme silou, nekonáme práci. Pokud tělesem neposuneme, práci také nekonáme. Práci koná jenom složka síly, která má totožný směr se směrem posunutí. Takže: když směry síly a posunutí jsou totožné, vykonaná práce je maximální. Čím více se liší směr síly od směru posunutí, tím je vykonaná práce menší, jsou-li směry kolmé, vykonaná práce je nulová. Jsou-li směry totožné a orientace opačné, vykonaná práce je také maximální, ale má záporné znaménko. Stačí se podívat na graf funkce kosinus, který následuje.

(Tady poznámka: vektor, například síla, je popisován orientovanou úsečkou. Tato má velikost (délka úsečky), směr a orientaci. Nejlíp se to pamatuje podle písničky Kocábka od Spirituál kvintetu: Archa má cíl, archa má směr, plaví se k Araratu na sever. – přeloženo: směr plavby je severojižní, orientace je k Araratu na sever (pro kontrolu: jaký směr a orientaci měl let holubice, která nesla snítku Noemovi? směr severojižní, ale orientaci na jih, opačnou než byla orientace plavby kocábky.) Jenže lidé jsou líní, a když řeknou směr, myslí směr i orientaci v jednom).

Jak je to tedy s konáním práce při pohybu tělesa po nakloněné rovině? Představme si následující situaci: cílem je přestěhovat těžkou bednu o hmotnosti m z úrovně podlahy A do úrovně okna B. Úkol řeší muž a žena. Jak budou postupovat? Přece podle obrázku.

Chlap se rozhodne, že se s tím přece nebude párat, bednu uchopí a vyzvedne ji do výše přímo. Ženská zváží své možnosti a nad úkolem popřemýšlí. Sežene si dlouhé, relativně hladké prkno, opře jej o zeď B tak, aby svíralo malý úhel s podlahou A a těleso po něm vytlačí nahoru. Výsledek je stejný, bedna je na místě. Kdo vykonal větší práci a jaké výhody má použití nakloněné roviny?

Mužský přístup je přímočarý, přímočarý bude i výpočet. Vynechejme fáze, kdy muž uvádí těleso do pohybu a brzdí jej, a předpokládejme, že zvedá bednu rovnoměrným pohybem. V tom případě působí na bednu silou stejně velkou, jako je její tíha, pouze orientace síly je opačná (vzhůru), co do velikosti: F=m.g, kde g=9,81m.s-2 je tíhové zrychlení. Posunutí má velikost rovnu h, vykonaná práce je tedy rovna W=m.g.h.

Ženský přístup chce více fyzikální úvahy (pánové prominou). Předně: leží-li bedna na nakloněné rovině, působí na ni dvě síly: Země na ni působí silou tíhovou směrem svisle dolů, prkno reakcí podložky, která je k podložce kolmá (kdyby této síly nebylo, bedna by do podložky zapadla). Výslednicí těchto sil je síla, která směřuje podél nakloněné roviny dolů a má velikost F=m.g.sin α.

Experimentátorka si přečetla definici práce, a tedy ví, že je pro ni nejrozumnější působit silou ve směru očekávaného posunutí, tedy podél nakloněné roviny nahoru silou o velikosti m.g.sin α (opět: nekomplikujme si život. Neřešme, jakým způsobem uvede žena bednu do pohybu, a zanedbejme tření při pohybu bedny po nakloněné rovině). Vykonaná práce je rovna součinu síly a dráhy, tedy W=m.g.sinα.l. Jak je tato práce veliká ve srovnání s prací vykonanou mužem? Je stejně velká!

Stačí se podívat na geometrii obrázku a hned vidíme, že l.sinα=h. Má tedy ženský přístup nějakou výhodu? Ano, žena sice posouvá těleso po delší dráze, ale menší silou. Čím je sklon (úhel α) nakloněné roviny menší, tím je menší i síla, potřebná k pohybu tělesa po nakloněné rovině (názor si lze udělat pomocí funkce sinus, která byla nakreslena na výše uvedeném obrázku 1). Zlaté pravidlo mechaniky tedy funguje, práce se při použití nakloněné roviny neušetří. Vše si nyní shrňme obrázkem:

Při rovnoměrném pohybu po rovině A práci nekonáme, stejně jako při rovnoměrném pohybu po rovině B (pročpak? inu proto, že působíme silou F=mg ve směru kolmém k posunutí, tedy cosα=0. Že nás z toho bolí ruce? To je otázka pro biofyzika. Zjednodušeně řečeno, svaly při držení tělesa mění své napětí, zatínají se a povolují, čímž spotřebovávají živiny, vytvářejí odpadní produkty a ty způsobují pocit namoženého svalu. Toto bohužel úplně není můj šálek čaje.) Při zrychleném pohybu po této rovině ale práci konáme: zrychlení je důsledkem působení nějaké síly, má s ní totožný směr, který je totožný se směrem posunutí. Takže se raději po vodorovné rovině pohybujme rovnoměrně, ať nekonáme práci zbytečně.

Pohyb po vodorovných rovinách A a B je tedy nepracovní, ale ať zvedáme rovnoměrným pohybem bednu z úrovně A na úroveň B svisle vzhůru, po nakloněné rovině, případně jakýmkoliv jiným způsobem (točité schodiště a podobně), stále vykonáváme práci W=m.g.h .

Tedy hladině A lze přiřadit veličinu, zvanou energie (zde konkrétně s přívlastky potenciální tíhová), která se vyznačuje tím, že na hladině B má hodnotu vyšší o práci, kterou musíme vykonat, abychom těleso o hmotnosti m zvedli rovnoměrným pohybem v gravitačním poli do výšky h. Hladiny A a B mají tedy mezi sebou energiový rozdíl úměrný jejich vzdálenosti.

Pokud těleso zvedneme z hladiny A na hladinu B, těleso v gravitačním poli (přesněji: soustava těleso + gravitační pole) tento energiový rozdíl získá (práci vykonáme my), pokud z hladiny B na hladinu A spadne, těleso energiový rozdíl ztratí (práci vykoná gravitační pole a energiový rozdíl se využije na zaboření tělesa do podkladu či na ohřátí tělesa a místa dopadu).

Tento princip se objevuje v různých odvětvích fyziky, dokonce byl na něm postaven i Bohrův model atomu vodíku (pouze místo zvednutí tělesa se uvažovalo o excitaci elektronu na vyšší energiovou hladinu a při sestupu elektronu na nižší energiovou hladinu nedošlo k zaboření tělesa, ale k vyzáření přebytečné energie v podobě světelného kvanta – fotonu).

Silové pole, ve kterém platí, že vykonaná práce při přenesení tělesa z jednoho bodu do druhého je stejná, ať se těleso pohybuje jakýmkoliv způsobem, nazývají fyzikové konzervativní (například pole gravitační, elektrostatické… konzervativní není pole sil tření). Mám však takový pocit, že tento exkurz už směřuje za hranice středoškolské fyziky, takže jej ukončeme.

Vraťme se ještě jednou k zlatému pravidlu mechaniky. Podle něj je práce vykonaná pomocí jednoduchého stroje stejná jako práce vykonaná bez něj. Toto však platí pouze pro ideální jednoduchý stroj. Příroda je velmi vynalézavá a lidské touze po dokonalosti klade překážky. V případě nakloněné roviny může být touto překážkou existence třecí síly.

Třecí síly nemají lidé rádi. Kvůli nim je potřeba mazat ložiska, uhlazovat styčné plochy (ve skutečnosti i obrazně), zkrátka lépe by nám bylo, kdyby jich nebylo. Opravdu? Kdo si zkusil chůzi či jízdu po náledí, ten si to už nemyslí.

A nejen to: nebýt tření, nebylo by oblečení (jak by držel textil pohromadě?), docházelo by k permanentní erozi (kořeny rostlin by nezadržovaly hlínu), osobní automobily by se nezastavily ani nerozjely (na oboje je potřeba, aby docházelo k tření pneumatik o vozovku), ba dokonce by neexistovaly ani symfonické orchestry (smyčec rozechvívá strunu právě tím, že při smýkání se struna střídavě posunuje s ním a pak se na okamžik zastavuje – mohou za to rozdílné hodnoty statického a dynamického tření). V našem případě by vysoká hodnota dynamického (pohybového) tření umožňovala ženě snadněji kráčet po nakloněné rovině, ale přidělávala by jí další práci při posouvání tělesa, a to doslova.

Pokud je koeficient smykového tření f nenulový, ukazuje empirie, že směr třecí síly je proti směru pohybu tělesa a velikost třecí síly je přímo úměrná velikosti síly, kterou působí těleso na podložku:

Síla, kterou působí těleso na podložku, je stejně velká jako síla N, kterou působí podložka na těleso (3. Newtonův zákon), a je rovna F_n=F.cosα. Pokud těleso je ponecháno samo sobě, klouže po nakloněné rovině dolů; třecí síla směřuje podél nakloněné roviny nahoru a tento pohyb brzdí (viz následující obrázek).

Pokud žena tlačí těleso nahoru, směřuje třecí síla proti směru pohybu a žena musí působit silou, která je větší o tolik, aby překonala sílu smykového tření.

Tedy účinnost jednoduchého stroje nemusí být stoprocentní, ale může být i menší: zlaté pravidlo mechaniky je třeba rozšířit v tom smyslu, že nelze získat z jednoduchého stroje více práce, než do něj bylo vloženo. Příroda se opravdu ošidit nedá.

Pokud byste byli vysokoškolskými studenty, kteří ovládají derivování jako matematický postup k hledání maxim a minim funkcí, měla bych pro vás dvě otázky:

1.         Experimentátorka tlačí těleso po nakloněné rovině, na níž je koeficient smykového tření konstantní a roven f. Pokud působí silou F ve směru nakloněné roviny, existuje pro ni nějaký úhel α, pro který je potřebná síla, respektive vykonaná práce, co nejmenší?

2.         Pokud by experimentátorka použila k tlačení sílu F, která by svírala s nakloněnou rovinou nenulový úhel β (laicky řečeno: těleso by při pohybu trochu nadzvedávala), zmenšovala by velikost třecí síly (připomeňme, že tato je úměrná velikosti síly, kterou těleso tlačí na podložku). Koeficient smykového tření má stejnou velikost f jako v předchozím případě. Byl by tento přístup z hlediska velikosti potřebné síly, respektive vykonané práce, výhodnější nebo méně výhodný než předchozí?

Kdo má zájem, nechť si to rozmyslí, případně zkusí propočítat, vzhledem k tomu, že řada z vás prošla ještě solidním československým školstvím, mohli byste se na derivace funkcí sinus a kosinus rozpomenout. Připomínám, že extrém (maximum či minimum) se hledá tak, že derivace síly F, vyjádřené pomocí úhlu α (případně β) se položí rovna nule. Těším se na vaše odpovědi :o)

Nu a to je vše o nakloněné rovině i o šroubech. On je totiž šroub zvláštním případem nakloněné roviny, totiž nakloněnou rovinou namotanou na válci. Ať už se jedná o Archimédův šroub, který se používal k zvedání vody při zavlažování, nebo o klasický šroub či vrut (pro nás děvčata: na šroub se dá našroubovat matka, vrut se zavrtává například do dřeva).

Zde záleží na stoupání, tj. o jakou výšku h se posune nakloněná rovina při jednom otočení kolem šroubu (tj. na dráze 2πr, kde r je poloměr šroubu). Je-li stoupání šroubu malé, šroubují se na něj matky lehce. Je-li větší, například u vrutů, jde vrut do materiálu hůře, musíme při jeho zašroubování vykonat větší práci, ale o to lépe v materiálu drží.

Myslím, že toho bylo pro dnešek až až. Pokud bude zájem, povíme si o dalších jednoduchých strojích příště.

Pokud vás fyzika ještě úplně neznechutila, doporučuji aspoň namátkou několik titulů:

•          http://www.physics.muni.cz/~awasin/mechanika.html velice pěkná učebnice mechaniky, prostá častých a neustále omílaných chyb

•          Perelman, J. I.: Zajímavá fyzika – krásná knížka o světě kolem nás očima fyzika, zajímavé postřehy, řešené problémy, čtivé, relativně málo počítání. Týž autor napsal i Zajímavou mechaniku, Zajímavou astronomii a Zajímavou matematiku, o kterých se musím vyjádřit neméně uznale.

•          http://www.library.usyd.edu.au/libraries/rare/modernity/galileo.html – ráda bych doporučila rovnou Galileiho stěžejní dílo o mechanice, ale nepovedlo se mi najít české vydání. Kdo však chce znát alespoň ukázky, nechť otevře knihu

•          Namer, Emile: Případ Galilei, která velmi čtivě pojednává o Galileiho životě, díle a sporech s inkvizicí. Lze doporučit i knihu, která spustila Galileiho inkviziční proces, a to

•          Galilei, Galileo: Dialóg o dvoch najväčších svetových sústavách. Kniha vyšla ve slovenštině, při čtení ale po pár stranách zapomenete na jazykové rozdíly. Ukazuje se zde, že dialog je nejlepší výuková metoda, a protože jeden z účastníků je ducha mírně mdlého, nečekejte zde nic příliš složitého či nepochopitelného. Naopak, po přečtení dojdete k názoru, že právě takto se má psát popularizační literatura.