Nedávno jsem hlídal asi dvouletou holčičku svého kolegy a v zájmu zabavení jsem jí dal na hraní onu klasickou hračku, kde má dítko prostrčit čtvercovou a kruhovou dírou geometricky odpovídající předměty. A jako miliony lidí přede mnou jsem viděl, jak se snažila prostrčit kolečko čtvercem. Holčička ovšem nevěděla dvě základní informace: za prvé, pokud čtverec nebude dostatečně velký, tak se jí to nemůže povést, a za druhé, že podobný problém řešili matematici téměř 4 tisíce let.

Jedná se o jeden z hlavních geometrických problémů starého Řecka, o němž je první zmínka z roku 1850 před naším letopočtem, ovšem historici se domnívají, že problém sahá až ro doku 3400 př.n.l. Zadání je krátké: Je možné narýsovat čtverec o stejném obsahu, jako má daný kruh? A protože jsme ve starém Řecku, můžeme použít pouze nástroje, které oni měli. Tak nejdříve ze všeho, staří Řekové neměli algebru. Možná si řeknete, že to byly zlaté časy, ale ukážeme si, že to tak úplně není.

Staří Řekové měli na veškeré počítání pouze pravítko a kružítko, tedy takzvaná konstrukční čísla. Nejdříve si ukážeme, jaké operace dokážeme s pravítkem a kružítkem. Základem je sčítání a odčítání. Obě operace jsou zobrazeny pomocí dvou úseček. Pro sčítání jsou na obrázku úsečky a a b takříkajíc připojeny za sebe a pro odčítání se překrývají.

Pomocí pravítka a kružítka umíme také násobit a dělit. Na obrázku jsou zobrazeny dva pravoúhlé trojúhelníky. Pokud má menší trojúhelník jednu odvěsnu o délce rovno jedné a přeponu o délce a, pak zvětšíme-li trojúhelník na odvěsnu o délce b, pak je nová přepona délky a.b. Opačným postupem je možné pak i dělit.

Poslední operaci, kterou jsme schopni provést je odmocnina. Na odmocninu nám stačí úsečka o dané délce a a polokružnici nad konci úsečky. Potom výška vedená z bodu ve vzdálenosti 1 od kraje má délku odmocniny úsečky a.

Teď, když máme nadefinovány všechny operace, můžeme zkusit problém vyřešit. Zkusme si to na tom nejjednodušším případě.  Uvažujme kruh k o poloměru rovno jedné (r = 1) se středem v bodě A(0, 0).

Na obrázku je zobrazena aproximace modrého čtverce o stejném obsahu, jako má červený kruh (na obrázku jsou pouze obrysy obou objektů pro přehlednost). Důležité slovo je aproximace, protože ve skutečnosti se obsahy těchto dvou objektů budou vždy trochu lišit. Jak je to ale možné? Selský rozum nám říká, že mohu mít čtverec o jakémkoli obsahu, stejně jako kruh, tak se přece musí někde shodnout, nebo ne? V tom je právě ten zakopaný pes.

Nejprve si obecně zjistíme, jaký by musel být obsah čtverce, abychom mohli úkol splnit. Obsah kruhu spočítáme velmi jednoduše. Nejprve si vygooglíme vzoreček: Skruh = πr2 a po dosazení našeho r = 1 zjistíme, že obsah našeho kruhu Skruh = π12 = π. Takže nyní potřebujeme vytvořit čtverec o stejném obsahu jako je náš kruh, tedy Sčtverec = π. Obsah čtverce je roven Sčtverec = a2, kde v našem případě bude délka strany [latex size=0 color=000000 background=ffffff]\displaystyle \sqrt{\pi}[/latex] tedy náš čtverec bude vypadat takto:

Máme tedy čtverec o straně odmocniny z π. Odmocninu podle našich nástrojů udělat umíme, jen musíme umět vytvořit pomocí pravítka a kružítka úsečku o délce π. Než se o to pokusíme, musíme si o π říct něco víc.

Všichni známe π, je to 3,14 a spoustu čísel za tím. Nejen že spoustu, ale dokonce nekonečně mnoho. Pí je takzvané iracionální číslo, to jednak znamená že s ním není žádná rozumná domluva, ale také že jej není možné zapsat zlomkem jako (číslo) / (jiné číslo). Ovšem samotná iracionalita čísla π nám nepřekáží. Je mnoho čísel, která jsou iracionální, ale současně jsou konstrukční, jako je například [latex size=0 color=000000 background=ffffff]\displaystyle \sqrt{2}[/latex], nebo zlatý řez. Pí má ale ještě jednu vlastnost, kromě iracionality.

Krom toho, že je π iracionální, je také transcendentní. Už jsme zmiňovali konstrukční čísla, která můžeme ještě rozšířit na algebraická. Pokud zavedeme například třetí nebo jakoukoli odmocninu. Transcendentní čísla jsou takzvaně nealgebraická. To znamená, že není kořenem žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty (zlomky), tedy něco takovéhoto: [latex size=0 color=000000 background=ffffff]\displaystyle \frac{23}{53}x^76 + \frac{42}{79}x – \frac{82}{732} = 0[/latex]. Tedy výsledkem takové rovnice nikdy nebude π (x ≠ π). Ne každé iracionální číslo je ale transcendentní. Použijeme-li znovu příklad [latex size=0 color=000000 background=ffffff]\displaystyle \sqrt{2}[/latex], zjistíme že je kořenem rovnice [latex size=0 color=000000 background=ffffff]\displaystyle x^2 – 2 = 0[/latex] a také se jedná o přeponu pravoúhelného trojúhelníka o délce odvěsen rovno jedné. Z této transcendence vyplývá, že π nelze vytvořit pomocí kružítka a pravítka tak jako to lze například u [latex size=0 color=000000 background=ffffff]\displaystyle \sqrt{2}[/latex].

Matematici se až do roku 1882 snažili dokázat, že π je skutečně transcendentní číslo, až se to podařilo německému matematikovi Ferdinandu von Lindemannovi. Tedy zhruba 4000 let se tedy matematici snažili prostrčit pomyslné kolečko čtverečkem, než se nechali přesvědčit, že to za daných podmínek není možné.

Otázka ovšem je, dokážeme my dnes, s naší algebrou a počítači vytvořit čtverec z kruhu? Odpověď je ano a to i přes to, že π je iracionální a transcendentní. Odpověď leží v jednom ze Zenónových paradoxů. A to příště.

Dede: Tak co, jak jste si procvičili šedou kůru mozkovou?:)) Myslím, že už se na tu batolecí hračku nebudeme dívat stejnýma očima, co? Pokud budete mít nějaké otázky k textu, ptejte se! Marek se pokusí nahlédnout, i když asi přes den se mu to nepodaří. Večer ale nahlédne určitě a pokusí se na vaše zvídavé dotazy odpovědět:))