ROZHLEDNÍK: Kruh, čtverec a Pí

Nedávno jsem hlídal asi dvouletou holčičku svého kolegy a v zájmu zabavení jsem jí dal na hraní onu klasickou hračku, kde má dítko prostrčit čtvercovou a kruhovou dírou geometricky odpovídající předměty. A jako miliony lidí přede mnou jsem viděl, jak se snažila prostrčit kolečko čtvercem. Holčička ovšem nevěděla dvě základní informace: za prvé, pokud čtverec nebude dostatečně velký, tak se jí to nemůže povést, a za druhé, že podobný problém řešili matematici téměř 4 tisíce let.

 

Jedná se o jeden z hlavních geometrických problémů starého Řecka, o němž je první zmínka z roku 1850 před naším letopočtem, ovšem historici se domnívají, že problém sahá až ro doku 3400 př.n.l. Zadání je krátké: Je možné narýsovat čtverec o stejném obsahu, jako má daný kruh? A protože jsme ve starém Řecku, můžeme použít pouze nástroje, které oni měli. Tak nejdříve ze všeho, staří Řekové neměli algebru. Možná si řeknete, že to byly zlaté časy, ale ukážeme si, že to tak úplně není.

Staří Řekové měli na veškeré počítání pouze pravítko a kružítko, tedy takzvaná konstrukční čísla. Nejdříve si ukážeme, jaké operace dokážeme s pravítkem a kružítkem. Základem je sčítání a odčítání. Obě operace jsou zobrazeny pomocí dvou úseček. Pro sčítání jsou na obrázku úsečky a a b takříkajíc připojeny za sebe a pro odčítání se překrývají.

 

 

Pomocí pravítka a kružítka umíme také násobit a dělit. Na obrázku jsou zobrazeny dva pravoúhlé trojúhelníky. Pokud má menší trojúhelník jednu odvěsnu o délce rovno jedné a přeponu o délce a, pak zvětšíme-li trojúhelník na odvěsnu o délce b, pak je nová přepona délky a.b. Opačným postupem je možné pak i dělit.

 

 

Poslední operaci, kterou jsme schopni provést je odmocnina. Na odmocninu nám stačí úsečka o dané délce a a polokružnici nad konci úsečky. Potom výška vedená z bodu ve vzdálenosti 1 od kraje má délku odmocniny úsečky a.

 

 

Teď, když máme nadefinovány všechny operace, můžeme zkusit problém vyřešit. Zkusme si to na tom nejjednodušším případě.  Uvažujme kruh k o poloměru rovno jedné (r = 1) se středem v bodě A(0, 0).

 

 

Na obrázku je zobrazena aproximace modrého čtverce o stejném obsahu, jako má červený kruh (na obrázku jsou pouze obrysy obou objektů pro přehlednost). Důležité slovo je aproximace, protože ve skutečnosti se obsahy těchto dvou objektů budou vždy trochu lišit. Jak je to ale možné? Selský rozum nám říká, že mohu mít čtverec o jakémkoli obsahu, stejně jako kruh, tak se přece musí někde shodnout, nebo ne? V tom je právě ten zakopaný pes.

Nejprve si obecně zjistíme, jaký by musel být obsah čtverce, abychom mohli úkol splnit. Obsah kruhu spočítáme velmi jednoduše. Nejprve si vygooglíme vzoreček: Skruh = πr2 a po dosazení našeho r = 1 zjistíme, že obsah našeho kruhu Skruh = π12 = π. Takže nyní potřebujeme vytvořit čtverec o stejném obsahu jako je náš kruh, tedy Sčtverec = π. Obsah čtverce je roven Sčtverec = a2, kde v našem případě bude délka strany Latex formula tedy náš čtverec bude vypadat takto:

 

 

Máme tedy čtverec o straně odmocniny z π. Odmocninu podle našich nástrojů udělat umíme, jen musíme umět vytvořit pomocí pravítka a kružítka úsečku o délce π. Než se o to pokusíme, musíme si o π říct něco víc.

Všichni známe π, je to 3,14 a spoustu čísel za tím. Nejen že spoustu, ale dokonce nekonečně mnoho. Pí je takzvané iracionální číslo, to jednak znamená že s ním není žádná rozumná domluva, ale také že jej není možné zapsat zlomkem jako (číslo) / (jiné číslo). Ovšem samotná iracionalita čísla π nám nepřekáží. Je mnoho čísel, která jsou iracionální, ale současně jsou konstrukční, jako je například Latex formula, nebo zlatý řez. Pí má ale ještě jednu vlastnost, kromě iracionality.

Krom toho, že je π iracionální, je také transcendentní. Už jsme zmiňovali konstrukční čísla, která můžeme ještě rozšířit na algebraická. Pokud zavedeme například třetí nebo jakoukoli odmocninu. Transcendentní čísla jsou takzvaně nealgebraická. To znamená, že není kořenem žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty (zlomky), tedy něco takovéhoto: Latex formula. Tedy výsledkem takové rovnice nikdy nebude π (x ≠ π). Ne každé iracionální číslo je ale transcendentní. Použijeme-li znovu příklad Latex formula, zjistíme že je kořenem rovnice Latex formula a také se jedná o přeponu pravoúhelného trojúhelníka o délce odvěsen rovno jedné. Z této transcendence vyplývá, že π nelze vytvořit pomocí kružítka a pravítka tak jako to lze například u Latex formula.

Matematici se až do roku 1882 snažili dokázat, že π je skutečně transcendentní číslo, až se to podařilo německému matematikovi Ferdinandu von Lindemannovi. Tedy zhruba 4000 let se tedy matematici snažili prostrčit pomyslné kolečko čtverečkem, než se nechali přesvědčit, že to za daných podmínek není možné.

Otázka ovšem je, dokážeme my dnes, s naší algebrou a počítači vytvořit čtverec z kruhu? Odpověď je ano a to i přes to, že π je iracionální a transcendentní. Odpověď leží v jednom ze Zenónových paradoxů. A to příště.

 

Dede: Tak co, jak jste si procvičili šedou kůru mozkovou?:)) Myslím, že už se na tu batolecí hračku nebudeme dívat stejnýma očima, co? Pokud budete mít nějaké otázky k textu, ptejte se! Marek se pokusí nahlédnout, i když asi přes den se mu to nepodaří. Večer ale nahlédne určitě a pokusí se na vaše zvídavé dotazy odpovědět:))

Aktualizováno: 17.5.2017 — 20:49

48 komentářů

PŘIDAT KOMENTÁŘ
  1. Marku, tys prostě chytrý a velmi nadaný „promovaný inženýr…hlava studovaná“:)

    No také jsem se snažila přelouskat článek, ale je to vše nad moje chápání, matyka u mne vice méně končí kupeckými počty. :) Takže jsem porozuměla vlastně jen úvodnímu odstavci :) Doufám, že článek najde hodně vděčných čtenářů (nejen tady), protože ti, kteří obsahu rozumí, ti za něj jistě budou vděční.

    Já už jsem mockrát přemýšlela nad tím, co to muselo být za talenty v předešlých stoletích, kteří právě jen a s „pravítkem a kružítkem“ dokázali propočítat kterak postavit most, hrad, tvrh, katedrálu a třeba i pyramidy atd a to tak, aby to po dalších mnoha stoletích ještě stálo. Pravda, někdy už jen základy, ale o to je to právě obdivuhodnější. Tenkrát těžko dělali dnešní hloubkové sondy půdy, zda se jim ten hrad, zámek či katedrála nepropadnou (no asi ani za tu nakloněnou věž nemohou). Však byli tací architekti patřičně vážení.

    Hm, dostat čtverec do kruhu jsme dokázali nedávno na zahradě. Jen ne propočty, ale obyčejným kladivem :)Potřebovali jsme zasunout novou ptačí budku upevněnou na asi metrovém, dřevěné, 4-hranné tyči do dlouhé železné trubky v zemi (trubka neshnije a dřevěná tyč se dá snadno přitlouci za zadní stranu budky). Většina našich budek je takto upevněná. Podle odhadu se měla tyč do trubky dát zapasovat, ale nakonec byla o ždibec širší. Tak jí tam pomohla zapadnout „manuální síla vedená kladivem“ :)

  2. I když jsem ve finále zvolila jazyky a šla studovat lingvistiku, tedy humanitní vědy, předtím jsem studovala přírodovědný gympl s rozšířenou matematikou. A ta matika mě moc bavila. V posledním ročníku jsme měli infinitezimální počet a to bylo žůžo. Z matiky jsem odmaturovala za 2 a byla jsem na to hrdá, protože jednu otázku jsem měla právě z oblasti infinitezimálního počtu a druhou z analytické geometrie, uf. Když jsem pak studovala ty jazyky, tiše jsem si snila o tom, jak by bylo fajn studovat zároveň jazyky a matematiku, protože pro mě obě tyto disciplíny představují logiku a v tom jsou si blízké – v jazyce jako takovém nevidím nic humanitního a v matematice nic přírodovědného. Takové studium ale tenkrát nebylo a když jsem skončila, tak už jsem to pak hodila za hlavu.
    Za běžných podmínek, pokud máme k dispozici papír, tužku, pravítko a kružítko, kvadraturu kruhu podle mě nelze vyřešit. Zatímco plochu čtverce můžeme spočítat přesně, plochu kruhu nikoli. Je vždycky jen přibližná a více či méně se blíží skutečné ploše, čím delší řadu desetinných míst pí použiju, tím více se výsledek blíží skutečnosti. Jsem zvědavá na řešení. Použila bych paradox „Achilles a želva“. Plocha kruhu je vlastně součtem ploch nekonečného množství trojúhelníků (neboli plochy mnohoúhelníku o nekonečném počtu stran), přičemž tento součet může být za určitých okolností konečný, tedy přesná plocha kruhu. Ale možná je to všechno úplně jinak :D .

    1. Dneska už to propojit jde, i se to studuje. Jsem v kontaktu s Ústavem formální a aplikované lingvistiky MFF UK – někde, ani nevím kde, jsem si je před časem našla a občas k nim jezdím na nějaké semináře apod. a je to naprosto úžasné, pořádají opravdu zajímavé akce.
      http://ufal.mff.cuni.cz

  3. Jo – a doufám, že Marka neodradí naše malá povědomost o matematice (čest zdejším výjimkám) a o těch Zenónových paradoxech napíše. Ono mi to zavání Zenbuddhizmem a ruku na srdce – tomu rozumím stejně jako matyce, teda jakože vůbec.

    Ale velice mne zklame, jestli tam ten Buddha nebude (rofl) (rofl) (rofl) !!!

  4. Přiznám se, že jsem to taky musela číst pomalu a některé části dvakrát :P Ale nakonec jsem to nějak pochopila. Člověk si má trénovat mozek i na tom, co mu nejde – možná hlavně na tom? :) Rozhodně ten můj je v oblasti počtů i fyziky (o matematice ve svém případě radši nemluvím:)) hodně zarezlej!

    1. To máš pravdu, Dede. Zrovna v úterý jsem byla vyzkoušena z chemie (to by bylo na delší povídání) a zjistila jsem, že když člověk ty zarezlé závity správně protočí, vymyslí i to, co si myslel, že nevymyslí :) .

  5. Jejda, matematika, fyzikův těsnopis. Pěkné, jasné, přehledné, srozumitelné, co si přát víc – díky, autore. Rozhodně se těším na pokračování.

    No a přidám sem básničku:

    KVADRATURA KRUHU
    Pravil jeden lední medvěd
    svému druhu,
    že chce provést kvadraturu
    polárního kruhu.
    Druhý říká – Já tím ale
    vůbec nadšen nejsem.
    Nevíš, jaký bude život
    za polárním čtvercem.

    Emil Calda, z publikace Úvod do obecné teorie prostoru, Praha, Karolinum 2003

    1. JJ, díky za básničku! :)
      Fyzikův těsnopis… já jsem vždycky těžce bojovala jak s matematikou, tak s fyzikou. Teprve na vejšce mi došlo, že jsem nemusela – že ten blok byl ve mě, že jsem nevěřila, že se to můžu naučit. Tedy, aby nedošlo k omylu, talent nemám a chápu tyhle věci pomalu (po mně Marek fakt není:)), ale nemuselo to být tak zlé, kdybych nevěřila, že na to nemám.
      A tak přemýšlím, jak ve mě to přesvědčení vlastně vzniklo? Škoda, že žádného z mých učitelů nenapadlo o tom pochybovat :D
      (Vlastně napadlo – ale až na gymplu a na deskriptivě, která mi bůhvíproč šla. Ale to už bylo pozdě:))

  6. Dnes jsem tedy úplně mimo místu.
    Na matematiku jsem byla slušně řečeno nenadaná.

    Můj šálek kávy byl dějepis, literatura a zeměpis.

      1. Míšo, solidárně jsem také mimo mísu. Já jsem spíše na češtinu a sloh, píšu verše,tedy ještě pořád do šuplíku.

          1. JJ, verše ze šuplíku trošku vylezly na moje autorské čtení. Tak teď ho opět otevirám.

            Svítání v dědině.

            Končí tmavá noc
            a dívá se ti do oken
            další nový den.

            Na větvi zpívá kos,
            včely v úlech ještě spí
            a dětem v postýlkách
            o pohádkách se sní.

            Jehličím voní blízký les,
            na dvorku štěká pes,
            na zápraží kočky vrni
            tak,jak to jen na umí.

            Jaký dnes bude den?
            Snad pěkný a hezký jen.
            Kdyby se však nedařilo.
            aby se to rychle napravilo.
            Když člověk není optimista
            nepohne se někdy z místa.

            Mít už ráno dobrou náladu
            – to je víc než hrnec pokladů.

            1. JJ, ještě ti posílám další.

              Vyznání

              Opustím město
              a vnořím se
              do stínu lesních velikánů.

              Vdechuji voňavé ticho,
              brodim se kapradím
              mechové polštářky pohladim,
              povídám si s ještěrkami,
              tiše obejdu pelíšek kolouška.

              Večer rozprostřu spacák
              do hebké trávy,
              zahoukám sýčkovi na pozdrav,
              zamávám padající hvězdě,
              a pak klidně usnu
              pod zeleným baldachýnem.

              Za svítání mne vzbudí
              ptačí orchestr
              a šumění lesa,
              který tiše šeptá:
              „Zase přijď!“

              1. Jo, to se mi líbí, má pěkný rytmus, hezkou zvukomalbu (pelíšek kolouška je super). (Já vůbec radš volný verš…)

  7. Takže tak dlouho budu počítat obsah mnohoúhelníků, až mi Achilles skoro doběhne želvu a já zjistím, že mám vlastně obsah kruhu, jo?
    Takhle nějak to udělal ten (pokud se dobře pamatuju) Archimédés.

      1. Jj a ostatní drabblící, nechcete mi poslat aspoň výběr ze svých letošních děl? :)
        Že bychom si tu vsichni početli? (wave)

          1. Dede, něco málo na čtení posílám. Občas mi některý časopis zveřejní příběh, píšu veselé historky z našich výletů.Verše jsem zatím nikam neposilala, nerušeně spí v šuplíku.

            1. Zveřejněno ve Chvilce pro tebe.

              Útok pstruhů
              Při koupání v horské bystřině u Jablunkova se mi přihodila zvláštní věc.
              Jak si tak nechávám masírovat záda ledovou vodou pod splavem, cítím, že mě něco šimrá na boku. Chtěla jsem se poškrábat, ale ouha-dotkla jsem se čehosi mokrého a studeného. Nevěřila bych, že se mi do plavek chytí hejno maličkých pstroužků. Pstruhů, kteří mi rejdili v jednodílných plavkách, jsem se chtěla zbavit. Postavila jsem se na mělčinu, sundala vršek plavek a milé rybičky vypustila zpět do řeky.Rychle jsem se upravila a zjistila, že kromě snachy mám ještě jednoho diváka.Moje vodni představení se zájmem pozoroval mladý pán. Honem jsem mu vysvětlovala, proč jsem se málem svlékla z plavek. Jeho reakce mne dostala do kolen. Zeptal se, proč jsem si vysypala tak chutnou večeři.

              1. No, pán byl pragmatik, ale taky bych se koukala pstroužků rychle zbavit. Připomnělo mi to, jak si jednou spolužačka na brigádě odložila na mez batůžek a nastěhovaly se do něj myšky drobné. To jsou tak kouzelní tvorečci, že jsme jen koukali, jak jí porcují jablíčko a kamsi je odnášejí (mladým? bylo léto) a vracejí se pro další kousky. No bylo to divadlo převeliké a celá třída stála jak u vytržení.

            1. Já o nich letos psala. :-) Mandaly jsou v mém světě průchody do dalších tzv. kruhů světa – do jednotlivých elementů. Ale malované mandaly umí být krása veliká, pozdravuj mladé.

  8. Teda přečetla jsem to opravdu pozorně, ale chápat jsem přestala u odmocniny. Ale přece jenom jsem si něco zapamatovala – pí se nepíše zlomkem, nejde nakreslit a je to pěkně zlomyslné číslo (chuckle) .

    Jinak problém čtvercové díry a kulatého předmětu – moje selský rozum mi říká, že kolečko čtverečkem prostrčíme jen v případě, že průměr kolečka je menší či roven jedné ze stran čtverce. O obsahu jsem tedy vůbec nepřemýšlela – neb jaký má obsah prázdná díra (rofl) – ovšem já nejsem matematik … Jo a když se řekne transcendentno, tak si tak nějak představuju císaře Rudolfa II. a jeho alchymistu Scottu, an se snaží probudit Golema (viz Císařův pekař).

      1. Jenomže Marek tady jasně napsal, že: „že jej není možné zapsat zlomkem jako (číslo) / (jiné číslo)“ … a já mu věřím, on je na to studovaný! A navíc o té matice píše natolik srozumitelně, že jsem článek přečetla celý (no dobře – ty rovnice jsem přeskočila (headbang) ).

        1. Ygo, tvá představa transcendentních čísel je naprosto přesná. Také jsem došla k názoru, že je to čirá alchymie, i když dobře matematicky podložená. Pokoušeli se nás na toto téma vzdělávat v předmětu Teorie množin – studenti ho již na druhé přednášce překřtili na Temno. :)

  9. Pokud by si někdo chtěl zapamatovat π na n řádů tak stačí toto:
    Dej, ó bože ó mocný zapamatovat si takový čísel řad.
    No pak stačí spočítat písmenka slov a máte to na 9 desetinných míst.

    1. 3,1415102653 – je to tak správně? Zarazilo mne slovo zapamatovat – tedy ta desítka, ale jasně, jak vyjádřit slovem nulu (rofl) – akorát nevím, kde to hned tak použiju ;)

      1. Mě se v práci vyplácí používat 3,1415926535 což se mi i dobře pamatuje :-) Na víc už to ve fyzice ztrácí význam.

        1. No – ale to je trošku jiné číslo, než jsem vydedukovala já! Kde máš „zapamatuješ“ a z něj vyšedší desítku? Že jsi si špatně spočítal písmenka?! (rofl)(rofl)

          1. No když jsme u toho počítání, tak zapamatovat je 11 písmen, takže do té pomůcky patří pamatovat.

            Jak píše Marek, stačí jen několik desetinných míst (já většinou zaokrouhlím na 3,14 anebo 3,1416), pak už se přesnost překryje chybami měření, zaokrouhlování výsledku apod.

            A na mnemotechnické pomůčky pozor. :) Vypráví se, že studenti medicíny se učí vitamíny rozpustné v tucích (A,D,E,K) tak, že je to „zadek“ bez prvního písmena. Samozřejmě, že je někdo u zkoušky vyjmenoval jako R,D,E,L…

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna.

:) :( :D 8) :O ;) ;( (sweat) :| :* :P (blush) :^) |-) |-( (inlove) ]:) (talk) (yawn) (puke) (doh) :@ (wasntme) (party) :S (mm) 8-| :x (wave) (call) (devil) (angel) (envy) (wait) (hug) (makeup) (chuckle) (clap) (think) (bow) (rofl) (whew) (happy) (smirk) (nod) (shake) (punch) (emo) (y) (n) (handshake) (skype) (h) (u) (e) (f) (rain) (sun) (o) (music) (~) (mp) (coffee) (pi) (cash) (flex) (^) (beer) (d) (dance) (ninja) (*) (bat) (cat) (dog) (toivo) (headbang) (bug) (fubar) (swear) (tmi) (heidy) (rose1) (rose2) (cz) (eu)

Náš Zvířetník - DeDeník © 2014 VYTVOŘENÍ NOVÉHO UŽIVATELE - PŘIHLÁŠENÍ SE NA STRÁNKY - ADMIN

Featuring Recent Posts WordPress Widget development by YD